P ve NP aslında aynı karmaşıklık sınıfı mıdır?

/ / Yayınlandığı Siber güvenlik, EITC/IS/CCTF Hesaplamalı Karmaşıklık Teorisi Temelleri, karmaşa, NP-tamam

P'nin NP'ye eşit olup olmadığı sorusu bilgisayar bilimleri ve matematikteki en derin ve çözülmemiş sorunlardan biridir. Bu problem, hesaplama problemlerinin doğasında olan zorlukları inceleyen ve bunları çözmek için gereken kaynaklara göre sınıflandıran bir alan olan hesaplama karmaşıklığı teorisinin merkezinde yer almaktadır.

Soruyu anlamak için P ve NP sınıflarının tanımlarını kavramak önemlidir. P sınıfı, polinom zamanında deterministik bir Turing makinesi tarafından çözülebilen karar problemlerinden (evet/hayır cevabı olan problemler) oluşur. Polinom süresi, problemi çözmek için gereken sürenin girdi boyutunun polinom fonksiyonu olarak ifade edilebileceği anlamına gelir. P'deki problemlerin örnekleri arasında bir sayı listesinin sıralanması (birleştirme sıralaması gibi etkili algoritmalar kullanılarak O(n log n) zamanında yapılabilir) ve Öklid algoritmasını (O(log ile çalışır) kullanarak iki tam sayının en büyük ortak böleninin bulunması yer alır. (min(a, b))) süre).

NP sınıfı ise belirli bir çözümün polinom zamanda deterministik bir Turing makinesi tarafından doğrulanabildiği karar problemlerinden oluşur. Bu, eğer birisi soruna aday bir çözüm sunarsa, bunun doğruluğunun etkili bir şekilde kontrol edilebileceği anlamına gelir. Daha da önemlisi, NP problemin kendisinin polinom zamanda çözülebileceği anlamına gelmez; yalnızca önerilen çözümün hızlı bir şekilde doğrulanabileceği anlamına gelir. NP'deki problemlerin örnekleri arasında, belirli bir Boole formülünü doğru yapan değişkenlere doğruluk değerleri atanmasının olup olmadığının belirlenmeye çalışıldığı Boolean tatmin edilebilirlik problemi (SAT) ve bir döngünün var olup olmadığını soran Hamilton döngüsü problemi yer alır. bir grafiğin her köşesini tam olarak bir kez ziyaret eder.

P vs NP sorusu, çözümü polinom zamanda doğrulanabilen her problemin (yani NP'deki her problemin) polinom zamanda da çözülüp çözülemeyeceğini (yani P'de) sorar. Resmi olarak soru P = NP olup olmadığıdır. Eğer P, NP'ye eşit olsaydı, bu, çözümü hızlı bir şekilde doğrulanabilecek her problemin aynı zamanda hızlı bir şekilde çözülebileceği anlamına gelirdi. Bunun kriptografi, optimizasyon ve yapay zeka gibi alanlar üzerinde derin etkileri olacaktır; çünkü şu anda çözümü zor olan birçok sorun, potansiyel olarak verimli bir şekilde çözülebilir hale gelebilir.

Onlarca yıl süren araştırmalara rağmen P ve NP sorusu hala açık. Henüz hiç kimse P = NP veya P ≠ NP'yi kanıtlayamadı. Bu problemin zorluğu, Clay Matematik Enstitüsü tarafından yedi "Milenyum Ödüllü Problem"den biri olarak dahil edilmesiyle ve doğru çözüm için 1 milyon dolarlık bir ödülle vurgulanmıştır. Bir çözüm bulunamaması hem teorik hem de uygulamalı bilgisayar bilimlerinde önemli gelişmelere yol açmıştır.

P ve NP sorusuyla ilgili temel kavramlardan biri NP-tamlığıdır. Bir problem, eğer NP'deyse ve NP'deki herhangi bir problem kadar zorsa, herhangi bir NP probleminin polinom zaman azaltımı kullanılarak ona indirgenebilmesi anlamında NP-tamdır. NP-tamlık kavramı, Stephen Cook tarafından 1971'deki ufuk açıcı makalesinde tanıtıldı ve burada SAT probleminin NP-tam olduğunu kanıtladı. Cook teoremi olarak bilinen bu sonuç çığır açıcıydı çünkü NP-tam problemin somut bir örneğini sağladı ve diğer NP-tam problemlerin tanımlanması için bir çerçeve oluşturdu.

O zamandan bu yana, gezici satıcı problemi, klik problemi ve sırt çantası problemi gibi diğer birçok problemin NP-tam olduğu gösterilmiştir. NP-tamlığının önemi, herhangi bir NP-tam problemin polinom zamanda çözülebilmesi durumunda, NP'deki her problemin polinom zamanda çözülebilmesidir, bu da P = NP anlamına gelir. Tersine, eğer herhangi bir NP-tam problemi polinom zamanında çözülemezse, o zaman P ≠ NP olur.

NP-tamlık kavramını açıklamak için gezici satıcı problemini (TSP) düşünün. Bu problemde, bir satıcının, toplam seyahat mesafesini en aza indirmek amacıyla, her biri tam olarak bir kez olmak üzere bir dizi şehri ziyaret etmesi ve başlangıç ​​şehrine dönmesi gerekir. TSP'nin karar versiyonu, toplam mesafenin belirli bir değere eşit veya daha az olduğu şehirlerde bir turun olup olmadığını sorar. Bu sorun NP'dedir çünkü önerilen bir tur göz önüne alındığında, turun mesafe kısıtını karşılayıp karşılamadığı polinom zamanda kolayca doğrulanabilir. Ayrıca TSP NP-tamdır çünkü NP'deki herhangi bir problem polinom zamanında bir TSP örneğine dönüştürülebilir.

Başka bir örnek, belirli bir grafiğin belirli bir boyutta tam bir alt grafik (klik) içerip içermediğini soran klik problemidir. Bu sorun NP'dedir çünkü bir aday klik verildiğinde, bunun gerçekten gerekli boyutta bir klik olup olmadığı polinom zamanında doğrulanabilir. Klik problemi aynı zamanda NP-tamdır, yani onu verimli bir şekilde çözmenin tüm NP problemlerinin verimli bir şekilde çözülebileceği anlamına gelir.

P'ye karşı NP ve NP'nin tamlığı üzerine yapılan çalışmalar, teorik bilgisayar biliminde çeşitli tekniklerin ve araçların geliştirilmesine yol açmıştır. Bu tür tekniklerden biri, bir problemin en az diğeri kadar zor olduğunu göstermek için kullanılan polinom zaman azaltımları kavramıdır. A probleminden B problemine polinom zamanlı indirgeme, A'nın örneklerini polinom zaman içinde B'nin örneklerine dönüştüren bir dönüşümdür; böylece B'nin dönüştürülmüş örneğine yönelik bir çözüm, A'nın orijinal örneğini çözmek için kullanılabilir. A, polinom zamanda B problemine indirgenebilir ve B polinom zamanda çözülebilir, o zaman A da polinom zamanda çözülebilir.

Bir diğer önemli kavram, polinom zamanında NP-zor problemlere (en azından NP-tam problemler kadar zor olan problemler) optimale yakın çözümler sağlayan yaklaşım algoritmaları kavramıdır. Bu algoritmalar mutlaka kesin optimal çözümü bulmasa da, mümkün olan en iyiye yakın çözümler sunarak zorlu problemlerle başa çıkmak için pratik bir yaklaşım sunar. Örneğin, gezgin satıcı problemi, metrik TSP için (mesafelerin üçgen eşitsizliğini karşıladığı) optimal turun 1.5 faktörü dahilinde bir turu garanti eden iyi bilinen bir yaklaşım algoritmasına sahiptir.

P ve NP sorusunu çözmenin sonuçları teorik bilgisayar biliminin ötesine uzanır. Kriptografide birçok şifreleme şeması, NP'de olduğuna ancak P'de olmadığına inanılan tamsayı çarpanlara ayırma ve ayrık logaritmalar gibi belirli problemlerin sertliğine dayanır. P, NP'ye eşit olsaydı, bu problemler potansiyel olarak verimli bir şekilde çözülebilir ve uzlaşılabilirdi. kriptografik sistemlerin güvenliği. Tersine, P ≠ NP'nin kanıtlanması bu tür sistemlerin güvenliği için daha güçlü bir temel sağlayacaktır.

Optimizasyonda, planlama, yönlendirme ve kaynak tahsisi gibi birçok gerçek dünya problemi NP-zor problemler olarak modellenir. P, NP'ye eşit olsaydı, bu, bu sorunları en iyi şekilde çözmek için etkili algoritmaların geliştirilebileceği ve çeşitli endüstrilerde önemli ilerlemelere yol açabileceği anlamına gelirdi. Ancak mevcut P ≠ NP varsayımı, bu sorunlara pratik çözümler sağlayan sezgisel ve yaklaşım algoritmalarının geliştirilmesine yol açmıştır.

P ve NP sorusu aynı zamanda matematiksel gerçeğin doğasına ve insan bilgisinin sınırlarına değindiği için felsefi çıkarımlara da sahiptir. Eğer P, NP'ye eşit olsaydı, bu, kısa ispatı olan her matematiksel ifadenin verimli bir şekilde keşfedilebileceği ve potansiyel olarak matematiksel keşif sürecinde devrim yaratabileceği anlamına gelirdi. Öte yandan, eğer P ≠ NP ise, matematiksel yapıların karmaşıklığını ve zenginliğini vurgulayarak, neyin verimli bir şekilde hesaplanabileceği ve doğrulanabileceği konusunda doğal sınırlar olduğunu öne sürecektir.

P ve NP sorusuna kesin bir yanıt bulunmamasına rağmen, bu konuyu çevreleyen araştırmalar, hesaplama karmaşıklığının daha derinlemesine anlaşılmasına ve bilgisayar bilimi üzerinde derin etkisi olan çok sayıda teknik ve aracın geliştirilmesine yol açmıştır. Bu soruyu çözme arayışı, araştırmacılara ilham vermeye ve onlara meydan okumaya devam ederek alanda ilerlemeyi teşvik ediyor ve hesaplamanın temel sınırlarına ilişkin anlayışımızı genişletiyor.

ile ilgili diğer yeni sorular ve cevaplar karmaşa:

Karmaşıklık bölümünde daha fazla soru ve yanıt görüntüleyin

Daha fazla soru ve cevap:

Tagged under: , , , , ,